Como Calcular o Máximo Divisor Comum – parte 1

11 Flares Facebook 10 Google+ 1 Twitter 0 11 Flares ×

Image a seguinte situação: em uma empresa há 18 engenheiros e 12 administradores. O diretor precisa formar grupos só de engenheiros ou só de administradores, com a mesma quantidade de profissionais e usando a maior quantidade possível. Quantos profissionais terá cada grupo? Quantos grupos de engenheiros podem ser formados?

Por sorte o diretor sabia trabalhar bem com divisores e soube então resolver todas as perguntas acima. E você, sabe?

Problemas como o apresentado acima são comuns em concursos onde o raciocínio lógico quantitativo é cobrado. Portanto, prossiga a leitura e aprenda a resolver questões como a que foi proposta para o diretor e outras mais, fazendo uso do máximo divisor comum o mdc.

A aula sobre máximo divisor comum (mdc) será divida em três partes (posts), nesta primeira parte aprenderemos o conceito de mdc e o primeiro método para determiná-lo entre dois ou mais números naturais.

De modo geral, os objetivos da aula sobre mdc são:

  • Relembrar o conceito de divisor de um número natural;
  • Determinar o maior divisor comum de dois ou mais números naturais;
  • Entender os dois principais métodos para determinar o mdc entre dois ou mais números naturais;
  • Máximo divisor comum e questões de concursos.

Máximo Divisor Comum

Máximo – significa maior.

Divisor – que divide exatamente, isto é, deixa resto zero na divisão.

Comum – simultaneamente, ao mesmo tempo.

Portanto, o maior número que divide dois ou mais números naturais simultaneamente é chamado de máximo divisor comum, o mdc.

Exemplo 1: qual o mdc entre 8 e 12?

Divisores de 8 = { 1, 2, 4 e 8 }.

Divisores de 12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }.

Divisores comuns a 8 e 12 = 1, 2 e 4.

Maior divisor dos comum = é 4. Portanto, o mdc (8, 12) = 4.

Para 8 e 12 foi muito fácil encontrar os divisores de cada um! :-)

Imagine se fossem números maiores, por exemplo, 96 , 108 e 132?

Muito tempo seria necessário para determinar os divisores de cada um e sem falar que poderíamos esquecer algum. Por isso, vamos agora aprender o primerio método para determinar o mdc.

Primeiro Processo Prático para Determinação do MDC

Por decomposição em fatores primos

Regra: decompõe-se os números em fatores primos, em seguida, multiplicam-se os fatores primos comuns cada um deles elevados ao menor de seus expoentes.

Exemplo 2: determine o mdc de 96, 108 e 132?

Resolução: vamos decompor os números acima em fatores primos.

Caso não sabe ou não se lembra como se decompõe um número em fatores primos

clique aqui

image

Temos então o seguinte:

96 = 25.3

108 = 22.33

132 = 22.3.11

Os fatores primos comuns são: 2 e 3.

Dos fatores primos comuns os de menores expoentes são: 22 e 3.

Portanto, o mdc (96,108,132) = 22.3 = 4.3 = 12.

Observe que temos dois fatores 3 e dois fatores 22, para o cálculo do mdc, basta considerar somente um de cada e o fator 11 não é comum a 96 e 108, logo não será considerando para o cálculo.

Bem, antes de prosseguir vamos ver mais um exemplo, certo? Ok!

Exemplo 3: determine o mdc entre 120 e 300.

Resolução: decompondo em fatores primos os números acima.

image12

120 = 23.3.5

300 = 22.3.52

Os fatores primos comuns são: 2, 3 e 5. “todo mundo!”

Dos fatores primos comuns os de menores expoentes são: 22, 3 e 5.

Logo, o mdc (120, 300) = 22.3.5 = 4.3.5 = 60.

Agora, baseando-se nos dois exemplos acima, resolva as questões abaixo. :-)

1. Qual o mdc (32, 48)?

A) 12

B) 16

C) 18

D) 32

2. Qual o mdc (28, 70, 84)?

A) 18

B) 16

C) 14

D) 7

3. Determine o mdc de X, Y e Z, sendo

X = 25 x 52 x 7          Y = 2 x 34 x 53 x 72                 Z = 23 x 32 x 54 x 7

A) 350

B) 3704

C) 3500

D) 5334

Conclusão

Nesta aula aprendemos a determinar o maior divisor comum entre dois ou mais naturais pelo método da decomposição em fatores primos. Aprendemos também o conceito de divisor de um número natural.

O mdc tem grande utilidade na prática, sendo que é a base para outros ramos da Matemática, geralmente em concursos públicos, as questões que envolvem mdc são voltadas para a aplicabilidade.

Nas próximas aulas veremos:

- um segundo método para determinar o mdc entre dois ou mais números;

Como calcular o mdc – parte 2

- mdc e questões de concursos.

Exercícios de mdc para concursos

Aqui está o gabarito dos exercícios acima: 1.B, 2.C e 3.A.

Até a próxima parte da aula e bom estudo! :-)

Curso de Raciocínio Lógico para Concursos

Insira o seu email abaixo para receber o ebook!

Sobre o Autor

autor-70x70 Thieres Machado é Professor em cursos preparatórios para diversos concursos. Autor do e-book Raciocínio Lógico Quantitativo para concursos com 40 questões resolvidas passo a passo. Continue lendo aqui.


Comentários

Deixe uma resposta

O seu endereço de email não será publicado Campos obrigatórios são marcados *