Exercícios Envolvendo Divisão em Partes Diretamente Proporcionais

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Neste artigo, vamos dar início a uma série de exercícios envolvendo divisão proporcional. A série terá dois artigos, um envolvendo grandezas diretamente proporcionais e o outro inversamente proporcionais.

Você vai poder praticar com diversos exercícios, todos resolvidos. Já ouviu falar de regra de sociedade? Pois é, logo abaixo tem vários exemplos sobre este tema dentro da divisão proporcional.

Para quem não sabe, quando problemas de divisão proporcional envolvem a divisão de lucros, prejuízos, gratificações e bonificações em geral, dentro de uma empresa, eles recebem o nome de regra de sociedade.

Continue lendo para aprender um pouco mais sobre este tema, através de exercícios resolvidos passo a passo.

Antes de começar a realizar os exercícios, sugerimos que veja os seguintes artigos:

Exercícios de Razões

Exercícios de Proporções

Divisão em Partes Diretamente Proporcionais (só teoria)

Acreditamos que se você estudar antes os temas dos artigos acima, seu aprendizado sobre o tema aqui tratado será melhor.

Enunciados dos Exercícios Envolvendo Divisão em Partes Diretamente Proporcionais

1. Dividindo-se 190 em partes proporcionais a 2, 7 e 10, qual a maior parte obtida?

A) 190

B) 100

C) 70

D) 20

2.(ESAF) O TJ do Ceará verificou, em pesquisa de opinião pública, que, em cada 13 eleitores, 5 votam no PFL, 4 no PMDB, 3 no PT e 1 no PDS. Então, para 6.539.000 eleitores, a distribuição dos votos seria, respectivamente, para o PFL, PT, PDS e PMDB de:

A) 2.650.000; 1.590.000; 530.000; 2.120.000

B) 2.515.000; 2.012.000; 1.509.000; 503.000

C) 265.000; 159.000; 53.000; 212.000

D) 2.650.000; 2.120.000; 1.239.000; 530.000

E) 2.515.000; 1.509.000; 503.000; 2.012.000

3. Numa loja de automóveis, os vendedores recebem comissões proporcionais ao número de carros que vendem. Se, em uma semana, o gerente pagou um total de R$ 8.280,00 a quatro funcionários que venderam 3, 6, 7 e 9 carros, respectivamente, quanto ganhou o que menos carros vendeu?

A) R$ 993,60

B) R$ 808,00

C) R$ 679,30

D) R$ 587,10

E) R$ 500,40

4. Dividindo-se um terreno em 3 lotes proporcionais a 3, 4 e 6, o menor lote será 360 m2. A área total do terreno, em m2, correponde a:

A) 720

B) 780

C) 1.170

D) 1.560

E) 1.800

5. Na constituição de uma empresa comercial, Daniela e Luiza entraram com os capitais de R$ 60.000,00 e R$ 90.000,00, respectivamente. Após 9 meses, admitiram Rafael na sociedade, com capital de R$ 120.000,00. Se ao fim dos primeiros 12 meses a empresa apresentou um lucro R$ 13.200,00, qual a parte de Rafael no lucro, em R$?

A) 3.300,00

B) 3.000,00

C) 2.500,00

D) 2.200,00

E) 1.100,00

Soluções dos Exercícios

Exercício 1

Vamos chamar de x, y, z as partes em que 190 foi dividido de modo proporcional, respectivamente, a 2, 7, 10. Como a divisão é feita em partes diretamente proporcionais, então as razões x/2, y/7 e z/10 devem ser iguais, isto é,

x/2 = y/7 = z/10.

“x está para 2, assim como, y está para 7, assim como, z está para 10″.

Observe também que x + y + z = 190.

Vamos utilizar a propriedade de proporção que diz: a soma de todos os antecedentes está para a soma de todos os consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente, pois as razões são iguais. Veja:

\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z}{10}=\frac{x+y+z}{2+7+10}

Como x + y + z = 190, temos

\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z}{10}=\frac{190}{19}=10.

Calculando o valor de cada parte, separadamente:

x/2 = 10, então x = 20.

y/7 = 10, então y = 70.

z/10 = 10, então z = 100.

Portanto, a maior parte é 100.

Observação: o valor 10 é chamado de constante de proporcionalidade, razões iguais.

Exercício 2

Do problema temos,

PFL – 5/13 (de 13 pessoas, 5 votam no PFL).

PT – 3/13.

PDS – 1/13.

PMDB – 4/13.

Como, segundo o problema, não há alteração na (constante) proporção, temos que esta deve ser mantida, mesmo para o aumento do número de eleitores. Sendo x, y, z, w o valor procurado, respectivamente, para cada partido acima, podemos escrever as proporções:

5/13 = x/6.539.000

3/13 = y/6.539.000

1/13 = z/6.539.000

4/13 = w/6.539.000

Resolvendo,

13x = 5.(6.539.000), então 13x =  32695000 e daí x = 2.515.000 (PFL).

13y = 19617000, então y =  1.509.000 (PT).

13z = 6.539.000, então z = 503.000 (PDS).

13w = 26156000, então w = 2.012.000 (PMDB).

Logo, a distribuição dos votos seria: 2.515.000; 1.509.000; 503.000; 2.012.000.

Exercício 3

Este exercício, é semelhante ao primeiro, é uma aplicação do assunto ao nosso cotidiano. Vamos aplicar o mesmo método de resolução do primeiro.

Sejam a, b, c, d os valores de comissão pagos aos quatro funcionários, respectivamente, proporcionais a 3, 6, 7 e 9 (número de carros).

Veja no enunciado que o valor pago de comissão é proporcional (diretamente proporcional) a quantidade de carros vendidos.

Como as sequências (a, b, c, d) e (3, 6, 7, 9) são diretamente proporcionais, o menor valor pago (a) está para o vendedor que vendeu menos carro (3).

Logo, vamos determinar o valor de a, pois é somente este que nos interessa, de acordo com o enunciado.

Lembre-se: a + b + c + d = 8.280.

a/3 = b/6 = c/7 = d/9, então

\displaystyle \frac{a}{3}=\frac{b}{6}=\frac{c}{7}=\frac{d}{9}=\frac{a+b+c+d}{3+6+7+9}

\displaystyle \frac{a}{3}=\frac{b}{6}=\frac{c}{7}=\frac{d}{9}=\frac{8.280}{25}=331,20.

Podemos escrever,

a/3 = 331,20, então a = 3 x (331,20) e daí a = 993,60.

Portanto, o que menos carro vendeu, ganhou R$ 993,60.

Exercício 4

Considere L1, L2 e L3 a medida da área dos lotes proporcionais, respectivamente, a 3, 4 e 6. Como o problema pede a área total, esta será da pela soma: L1 + L2 + L3.

Precisamos, então, saber os valores de L1, L2 e L3. Veja que L1 = 360 m2 (o menor). Faltam os outros dois.

Do enunciado, temos que (L1, L2, L3) e (3, 4, 6) são diretamente proporcionais, escrevemos:

L1/3 = L2/4 = L3/6, como L1 = 360, temos que:

L1/3 = 360/3 = 120, desse fato, obtemos a constante de proporcionalidade, isto é, a razão em que os lotes foram divididos. (Re)escrevendo:

120 = L2/4 = L3/6, daí podemos calcular L2 e L3.

L2/4 = 120, então L2 = 480 m2.

L3/6 = 120, então L3 = 720 m2.

Medida da área total do terreno = 360 + 480 + 720 = 1.560 m2.

Exercício 5

As letras D, L e R representam o valor que cada um, repectivamente, Daniele, Luiza e Rafael receberam como parte do lucro. De acordo com o enunciado, vamos determinar R.

Observe que, além do capital investido, do lucro, temos também que considerar o tempo. Tempo em que cada capital foi aplicado até se obter o lucro.

A divisão será feita em partes diretamente proporcionais ao capital investido e ao tempo que este capital permaneceu investido.

Então, o lucro será diretamente proporcional ao produto do capital pelo tempo.

O produto do capital pelo tempo ocorre pelo fato do capital investido ter permanecido durante o tempo considerado e ajudou a gerar lucro ao final.

Não podemos deixar de considerar o tempo, pois sabemos que há uma desvalorização do dinheiro durante um certo tempo.

Aquele que investiu uma maior quantia e permaneceu mais tempo deve receber a maior parte. Veja:

Daniele entrou com R$ 60.000,00 e permaneceu 12 meses.

Luiza entrou com R$ 90.000,00 e permaneceu 12 meses.

Rafael entrou com R$ 120.000,00 e pemanceu 3 (12 – 9) meses.

\displaystyle \frac{D}{60.000\times 12}=\frac{L}{90.000\times 12}=\frac{R}{120.000\times 3}\Leftrightarrow

\displaystyle \frac{D}{720.000}=\frac{L}{1.080.000}=\frac{R}{360.000}\cdot

Aplicando a mesma propriedade do exercício 1, temos:

\displaystyle \frac{D}{720.000}=\frac{L}{1.080.000}=\frac{R}{360.000}=\frac{D+L+R}{2.160.000}

Como D + L + R = 13.200, vem que

\displaystyle \frac{D}{720.000}=\frac{L}{1.080.000}=\frac{R}{360.000}=\frac{13.200}{2.160.000}

Desejamos saber somente a parte do lucro de Rafael (R), portanto

\displaystyle \frac{R}{360.000}=\frac{13.200}{2.160.000}\Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow R=\frac{360.000\times 13.200}{2.160.000}=2.200.

A parte do lucro de Rafael corresponde a R$ 2.200,00.

Observação: nos cálculos acima, você pode simplificar os números, isso fica a seu critério, mas tenha bastante atenção ao fazer.

Preferimos não fazer, pelo fato de muitos estudantes apresentarem dificuldade no entendimento da resolução. Vamos passo a passo, mas com cuidado para não haver excesso de informação.

Simplificações, uso de propriedades básicas ou como alguns gostam de chamar “macetes”, daremos algumas dicas num artigo futuro.

Considerações Finais

No próximo artigo, vamos abordar o assunto envolvendo grandezas inversamente proporcionais. Fique atento!

Enquanto isso, se você tem alguma dúvida ou quer fazer alguma sugestão fique a vontade. Aguardamos seu comentário.

Um abraço!

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Sobre o Autor

autor-70x70 Thieres Machado é Professor em cursos preparatórios para diversos concursos. Autor do e-book Raciocínio Lógico Quantitativo para concursos com 40 questões resolvidas passo a passo. Continue lendo aqui.


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