Exercícios Envolvendo o Teorema de Pitágoras

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Apresentamos logo abaixo, um pequeno resumo e diversos exercícios envolvendo o teorema de Pitágoras.

Nosso objetivo neste artigo é mostrar a aplicabilidade do teorema, sua importância nas construções através de diversos exercícios resolvidos passo a passo.

Saiba também que, devido a sua importância, o teorema é muito cobrado em diversos concursos. Portanto, aproveite este artigo para praticar e tirar suas dúvidas.

Continue lendo para saber mais sobre:

- O teorema de Pitágoras;
- Aplicações;
- Exercícios resolvidos e muito mais.

Teorema de Pitágoras (resumo)

Enunciado do teorema de Pitágoras:

Em todo triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Observe a figura abaixo. Nela, temos um triângulo retângulo ABC, retângulo em B. A medida da hipotenusa é a, os catetos medem respectivamente b, c.

imagem

Os catetos são os lados do ângulo reto (90º), já a hipotenusa é o segmento (ou lado) “de frente” (ou lado oposto) ao ângulo reto. Temos a seguinte a relação:

a2 = b2 + c2.

Este, foi um pequeno resumo sobre o teorema de Pitágoras, existe muito mais teoria sobre este assunto.

Mas, agora, vamos aplicar o que foi apresentado acima em questões de concursos, só isso já é suficiente para nosso objetivo.

Veja os enunciados abaixo e logo em seguida as resoluções.

Enunciados dos Exercícios

1.(UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:

Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
“Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa.”
………………………………………………………………………..
(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)

A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte
resposta:

A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”
D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”

2. Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do muro. A altura desse muro é:

A) 2,3m
B) 3,0m
C) 3,2m
D) 3,8m

3.(PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

4. As diagonais do losango medem 8 cm e 6 cm.

imagem_losango_01

O polígono (parcialmente desenhado) tem o perímetro de (em cm):

A) 20
B) 40
C) 24
D) \displaystyle 10\sqrt{2}
E) \displaystyle 20\sqrt{2}

5.(OBMEP) O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura. Se o topo da escada escorregar 4m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada?imagem_exercício5

A) 4 m
B) 8 m
C) 9 m
D) 13 m
E) 15 m

Soluções dos Exercícios

Exercício 1.

Este primeiro exercício pede nada mais do que o enunciado do Teorema de Pitágoras:

“Em todo triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.

De acordo com as alternativas, temos que a resposta correta é a letra D. Veja:

(cateto)2 + (cateto)2 = (hipotenusa)2.

Exercício 2.

Sendo o muro vertical ao solo, isto é, formando um ângulo reto com o mesmo, veja um esboço da situação.

imagem_exercício2

Nesta situação, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Veja:

h2 + (2,4)2 = 42

h2 = 16 – 5,76

h2 = 10,24

h = 3,2 m.

Portanto, a altura do muro é de 3,2 m.

Exercício 3.

Seja a a medida da hipotenusa procurada e b, c a medida dos catetos do triângulo retângulo. Então, a, b, c são as medidas dos três lados do triângulo.

De acordo com o enunciado:

“a soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32″ e o que temos acima, podemos escrever:

a2 + b2 + c2 = 32.

Bem, sabemos que no triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos, isto é,

b2 + c2 = a2, portanto vamos substituir na expressão acima.

a2 + b2 + c2 = 32.

a2 + a2 = 32 (substituímos b2 + c2 por a2). E resolvendo …

2a2 = 32, então a2 = 16, logo a = 4.

Concluímos que a medida da hipotenusa é de 4.

Observação: encontramos dois valores para a, 4 e -4, mas o valor negativo não convém, por se tratar de uma medida. O mesmo vale para o exercício 2.

Exercício 4.

As diagonais do losango são os segmentos AC e BD. Neste caso, vamos usar a propriedade relacionada as diagonais do losango, que diz o seguinte:

as diagonais de um losango se interceptam no seu ponto médio (O) e são perpendiculares (90º). Também devemos lembrar que o losango é o quadrilátero que possui os quatro (4) lados congruentes (mesma medida).

Para saber mais sobre o losango e demais quadriláteros, baixe nossa apostila de Geometria Plana para concursos, clique aqui para ver.

Em medidas, temos: AB = BC = CD = AD.

Veja a figura para melhor compreender.

imagem_losango_02

O triângulo BCO é retângulo em O (ponto médio das diagonais).

Vamos então, aplicar o teorema de Pitágoras.

3 cm e 4 cm são as medidas do catetos e BC é a medida da hipotenusa.

(BC)2 = 32 + 42, logo (BC)2 = 25, temos que BC = 5 cm e daí vem que

AB = CD = AD = BC = 5 cm.

Portanto o perímetro do polígono é dê

AB + BC + CD + AD = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 cm.

Exercício 5.

Sabendo que a escada mede 25 m, seu pé dista 7 m da base do prédio e o prédio tem altura h e que ao escorregar 4 m no topo, vai escorregar x m na base, isto é, a distância do pé da escada para a base do prédio será de ( 7 + x ) m, vamos fazer um esboço da situação.

exercicio5_sol

Na figura 1, temos a situação inicial. Já na figura 2, temos a situação após o topo da escada escorregar 4 m, ficando a uma altura de (h – 4) m.

Veja, o ponto P indica a posição inicial do pé da escada, onde x em metros é a medida do deslocamento do pé da escada, o valor procurado.

Lembrando que o prédio é perpendicular ao solo (90º), podemos aplicar o teorema de Pitágoras  (figura 1) e descobrirmos a altura h.

h2 + 72 = 252, então h2 = 625 – 49, logo h = 24 m (altura do prédio).

Como a escada escorrega 4 m, temos que a nova altura do topo será:

h – 4 = 24 – 4 = 20 m.

Observe a figura 3.

exercicio5_sol_02

Novamente, aplicaremos o teorema de Pitágoras.

\displaystyle {{\left( x\text{ }+\text{ }7 \right)}^{2}}+\text{ }{{20}^{2}}=\text{ }{{25}^{2}}\Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow {{(x+7)}^{2}}=625-400\Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow {{(x+7)}^{2}}=225\Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow x+7=\pm \sqrt{225}\Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow x+7=\pm 15\Leftrightarrow

x + 7 = 15 ou x + 7 = -15.

Para x + 7 = 15, então x = 8 m.

Para x + 7 = – 15, então x = – 22 m (valor negativo, não convém).

Portanto, o deslocamento do pé da escada será de 8 m.

Conclusão

Saber enunciar o teorema de Pitágoras e aplicá-lo aos diversos exercícios vai contribuir em muito para as provas de concursos ou outras atividades.

Se teve muita dificuldade para entender os exercícios, volte e refaça olhando as resoluções até que sua dúvida seja esclarecida.

Para ver mais exercícios, baixe nossa apostila de Geometria Plana para Concursos, com mais de 200 questões gabaritadas.

O teorema tem grande importância no dia-a-dia, por isso ele sempre aparece na maioria dos concursos, as vezes não diretamente, mas como um meio para se chegar a resposta correta.

Continuaremos a produzir conteúdo de qualidade, que venha a te ajudar na conquista dos seus objetivos.

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Qualquer dúvida sobre o artigo, fique a vontade para perguntar.

Um Grande Abraço.

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Sobre o Autor

autor-70x70 Thieres Machado é Professor em cursos preparatórios para diversos concursos. Autor do e-book Raciocínio Lógico Quantitativo para concursos com 40 questões resolvidas passo a passo. Continue lendo aqui.


Comentários

  • Regina Marilia Rodrigues disse:

    Boa noite !
    Excelente os exercícios,pois preciso me preparar para o concurso
    Ufa!!! não é nada fácil.
    Obrigado!
    Regina marilia

    • Thieres Machado disse:

      Regina,
      muito obrigado pela visita e comentário. Realmente não é nada fácil, também se fosse fácil qualquer um passava e a aprovação não teria o “gosto” da vitória, né? Continue firme, persista que o seu objetivo logo será conquistado. Sucesso.

  • marlos disse:

    bom dia
    muito bom os exercicios, estou me preparanfo para o concurso do bombeiro se puder me enviar exercicios de raciocinio logico.

    desde ja ageadeço

    att,
    Marlos Marques

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