Exercícios de Produtos Notáveis para Concursos

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Em Matemática não basta somente teoria, ficar somente lendo conteúdo.

Pesquisadores afirmam que retemos cerca de 20% a 30% do que lemos, aprendemos mais fazendo. A teoria é necessária, mas não suficiente.

Fazendo a soma da teoria com prática de exercícios sua aprendizagem será melhor.

Portanto, comece já com a lista de exercícios abaixo sobre produtos notáveis, veja como esta parte da Matemática é abordada em concursos e aprenda com as soluções apresentadas estratégias para solucionar as questões rapidamente.

Antes de sair resolvendo as questões, verifique primeiro se sabe a teoria necessária, pois nas resoluções das questões, vamos aplicar somente os produtos notáveis diretamente, não usaremos a propriedade distributiva ou alguma regra de potência. Se não conhece os produtos notáveis, acesse o link abaixo.

Principais Produtos Notáveis

Lembre-se:

“É fazendo que se aprende a fazer aquilo que se deve aprender a fazer.” Aristóteles

Enunciados das Questões

1.(OBMEP) Na figura abaixo temos dois quadrados. O maior tem lado a + b e o menor lado a. Qual é a área da região colorida?

clip_image002A) b2

B) a + b

C) a2 + 2ab

D) 2ab + b2

2. A expressão (x – y)2 – (x + y)2 é equivalente a:

A) 0

B) 2y2

C) -2y3

D) –4xy

3. A expressão (3 + ab).(ab – 3) é igual a:

A) a2b – 9

B) ab2 – 9

C) a2b2 – 9

D) a2b2 – 6

4. Se (x – y)2 – (x + y)2 = -20, então x.y é igual a:

A) 0

B) -1

C) 5

D) 10

5. Se x – y = 7 e xy = 60, então o valor da expressão x2 + y2 é:

A) 53

B) 109

C) 169

D) 420

Soluções das Questões

Questão 1

Repare que a área da região colorida é formada por dois retângulos, portanto se sabemos as medidas do comprimento e largura destes retângulos, facilmente calculamos a medida da região, pois esta é igual à soma das medidas das áreas dos retângulos.

Bem, mas não vamos seguir esta estratégia, um caminho mais simples é o seguinte:

veja que, se da medida da área do quadrado maior (medida do lado = a + b) subtraímos a medida da área do quadrado menor (medida do lado = a), vamos obter a medida da área da região colorida. Simples, não? Observe:

Medida da área do quadrado maior = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Medida da área do quadrado menor = a2.

Medida da área da região colorida = (a2 + 2ab + b2) – (a2) = 2ab + b2.

Questão 2

Primeiro vamos desenvolver os binômios separadamente.

(x – y)2 – (x + y)2

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 e (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.

Após desenvolver, voltamos para a expressão e substituímos.

(x – y)2 – (x + y)2 = x2 – 2xy + y2 – (x2 + 2xy + y2) = x2 – 2xy + y2 – x2 – 2xy – y2 =

= x2 – x2 – 2xy – 2xy + y2 – y2 = -2xy – 2xy = -4xy.

Logo, (x – y)2 – (x + y)2 = – 4xy.

Questão 3

Antes de resolvermos o problema, vamos fazer uma pequena mudança, muito importante que vai ajudar a resolver o problema rapidamente. Observe o seguinte:

(3 + ab) é igual a (ab + 3), já que a ordem das parcelas não altera a soma, certo?

(3 + ab).(ab – 3) = (ab + 3).(ab – 3), veja que temos agora o produto da soma de dois termos pela diferença de dois termos (os mesmos!), agora fica fácil aplicar o produto notável.

(3 + ab).(ab – 3) = (ab + 3).(ab – 3) = (ab)2 – 32 = a2b2 – 9.

Questão 4

Em questões deste tipo e em muitas outras, olhamos, procuramos ler uma, duas vezes e por experiência sei que muitos não conseguem sair do lugar, isto é, não conseguem escrever nada. Uma dica: trace uma estratégia, tenha fé e escreva, se não chegar a uma resposta satisfatória, volte, trace outra estratégia e siga com fé! :-)

Vamos a solução. Nossa primeira estratégia será desenvolver a expressão. Vamos lá, com fé!

{(x - y)^2} - {(x + y)^2} = {\rm{ }} - 20 \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} - ({x^2} + 2xy + {y^2}) =  - 20 \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} - {x^2} - 2xy - {y^2} =  - 20 \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow {x^2} - {x^2} + {y^2} - {y^2} - 2xy - 2xy =  - 20 \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow  - 4xy =  - 20 \Leftrightarrow xy = 5.

Nossa estratégia deu certo, conseguimos chegar a uma solução satisfatória, para verificar se a resposta está certa (é claro que está!), em xy = 5, isole uma incógnita e substitua na expressão original verificando a igualdade, isto é, se é verdadeira. (faça isto para treinar.)

Lembrando que xy = x.y, costuma-se omitir o símbolo de multiplicação.

Questão 5

Do problema, temos a seguinte equação x – y = 7, a princípio não está muito claro o valor de x2 + y2, mas vamos traçar uma estratégia e seguir com fé, novamente. :-)

Na equação x – y = 7, vamos elevar os dois membros ao quadrado, ficando assim

(x – y)2 = 72 , desenvolvendo temos

x2 – 2xy + y2 = 49, veja que já apareceram o x2 e y2, arrumando

x2 + y2 = 49 + 2xy, mas xy = 60 e daí

x2 + y2 = 49 + 2.60, resolvendo

x2 + y2 = 49 + 120, logo x2 + y2 = 169.

Interessante, não? Utilizamos a estratégia de elevar os dois membros da equação ao quadrado – podemos fazer isto, desde que façamos em ambos os membros – e logo apareceu x2 + y2. :-)

Terminamos mais Uma Etapa

Desejo que estes exercícios e soluções lhe tenham ajudado no entendimento desta  parte da Matemática, muito importante para prosseguir nos estudos.

E você, tem alguma dúvida em algum conteúdo do ensino fundamental? Comenta aí pra gente, sua sugestão pode fazer parte de nosso cronograma e você estará contribuindo para melhorar o blog que disponibiliza material gratuito para todos.

Aguardamos seu comentário e tudo bom!

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Sobre o Autor

autor-70x70 Thieres Machado é Professor em cursos preparatórios para diversos concursos. Autor do e-book Raciocínio Lógico Quantitativo para concursos com 40 questões resolvidas passo a passo. Continue lendo aqui.


Comentários

  • maria eduarda disse:

    nao me ajudou em nada pois nao entndi

  • isabelas disse:

    gostei do exercicio

  • Patrice disse:

    Bom DEMAIS esses exercícios. Ajudou bastante no meu aprendizado. Parabéns pela ótima explicação!

  • Victoria disse:

    Ola!
    Encontrei este exercício sobre produtos notáveis em uma apostila e não consigo resolve-lo, já procurei em outros sites mas não encontro nada:

    “conteúdo editado por não estar de acordo com a política do blog.”

    Obrigada desde já.

    • Thieres Machado disse:

      Victoria,

      não resolvemos questão particulares aqui no blog, pois não disponibilizamos tempo para tal. Tente o yahoo respostas, eles tem um fórum para esta finalidade.

      Esperamos que compreenda.

      Abraço e obrigado pela visita.

  • Josemary Lima disse:

    Boa tarde, Professor!
    Eu realmente não soube fazer este exercício, pois não sei como aplicar o crescimento vegetativo.
    Poderia me ajudar?

    “Conteúdo editado por não estar de acordo com a política do blog.”

    Desde já agradeço.

    Att.

    Josemary

    • Thieres Machado disse:

      Josemary,

      com todo carinho e respeito, mas no blog nossa política é esclarecer dúvidas com relações aos artigos publicados, devido ao nosso tempo fica um pouco difícil resolver as questões enviadas toda semana pelos leitores, recebo até listas com vários exercícios com pedido de que sejam feitas, não disponibilizamos tempo para este fim.

      Uma dica para você é utilizar forúns que resolvem questões enviadas pelos leitores, um deles e que até eu uso e respondo quando tenho tempo é o yahoo respostas. Funciona do seguinte modo: você coloca a questão na área desejada e alguém responde, tem vários participantes o endereço é

      http://br.answers.yahoo.com/

      Agradeçemos sua visita e compreensão. Aproveite o blog sempre que precisar.

      Sucesso sempre!

  • desejo receber dicas concursos administrativo da PMMG, sou concurseiro apesar do pouco tempo que tenho para estudar, se possível me envie também exercícios de raciocínio lógico. obrigado

    • Thieres Machado disse:

      Carlos Henrique,

      acompanhe o blog, pois estamos sempre publicando novos conteúdos. Acesse no menu o arquivo do blog para verificar outros assuntos de seu interesse. Em “receba material gratuito para concursos em seu e-mail” acima, a direita, digite um endereço de e-mail e clique em inscrever. Assim toda vez que publicarmos um novo artigo, você será informado em seu e-mail cadastrado.

      Sucesso nos concursos e até breve!

  • edson g silva disse:

    Boa noite Professor.
    Muito bom seus exercicios e as explicaçoes mas quanto a questao 5 utilizei outro raciocinio.
    x-y = 7
    xy = 60

    Pode ser feito desta forma com duas equaçoes?? Mas nao consegui encontrar valor de x e y.
    Ao desenvolver encontrei uma equaçao do 2º grau. E nao encontrei valor de x e y.
    Desta forma tambem é possivel encontrar o mesmo resultado e como por favor. Aguardo suas orientações. Obrigado. Edson

    • Thieres Machado disse:

      Oi Edson!

      Seu raciocínio está correto, seguindo este caminho, chegará a uma equação do 2° grau. O problema é desenvolver isto, certo? Vamos lá! :-)

      x – y = 7
      x.y = 60

      Isolando uma da incógnitas (pode ser x ou y), escolhendo y na primeira equação.

      y=x-7
      Substituindo na segunda equação.

      x.(x-7)=60, desenvolvendo

      {{x}^{2}}-7x-60=0, chegamos a uma equação do 2° grau, vamos “encontrar x”.

      \Delta ={{7}^{2}}-4.1.(-60)=289

      x=\frac{-7\pm 17}{2}\Leftrightarrow x=12\text{ ou x = -5}

      Como y = x – 7, temos que

      Para x = 12, y = 12 – 7 = 5.
      Para x = -5, y = -5 – 7 = -12.

      Logo, {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169.

      Veja que é uma solução mais longa, mas chega-se ao mesmo resultado.
      Espero ter ajudado, mas se ainda tem dúvida, comente e

      obrigado pelos elogios e pela pergunta, pois ela complementa a solução da questão 5, enriquecendo o artigo.

      Abraço. :-)

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