Aprenda Como Reconhecer um Número Primo

O conteúdo desta aula tem por objetivo num primeiro momento a identificação de números naturais primos, isto é, como verifico se um determinado número natural é primo? Também tem o objetivo de dar embasamento a outras aulas que estão por vir, pois a aplicabilidade de números primos é grande!

Nesta aula, vamos aprender a definição de número primo e como verificar se um número é ou não primo, através de dois métodos, sendo um desses métodos aprendido na escola básica, já o outro não tão divulgado.

Divisor de Um Número Natural

Em primeiro lugar, dizemos que um determinado número natural a é divisor de um natural b, quando a divisão de b por a se faz exatamente, isto é, sem deixar resto (zero).

Exemplo: na divisão de 56 por 14, encontramos resto 0, então dizemos que 14 é um divisor de 54.

Observe alguns números naturais:

– os divisores de 21 são: 1, 3, 7 e 21.

– os divisores de 5 são: 1 e 5.

– os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

– os divisores de 17 são: 1 e 17.

Observe que alguns desses números (5 e 17) têm apenas dois divisores. Quando isso acontece, eles são chamados de números primos.

Número Primo

Um número natural maior do que 1 é dito primo se possui exatamente dois divisores distintos: o 1 e ele mesmo.

Entre os números 21, 5, 12 e 17, podemos afirmar que:

– 5 é primo, pois é maior do que 1 e só tem 1 e 5 como divisores;

– 17 é primo, pois é maior do que 1 e só tem 1 e 17 como divisores;

– 21 e 12 não são números primos, pois têm mais de dois divisores.

Os (dez primeiros) números naturais primos dispostos em ordem crescente são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … .

Como Verificar se Um Número é Primo?

Vamos aprender dois modos de reconhecimento de um número primo.

1º Modo: Dividimos o número pelos primeiros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. …, até encontrarmos:

– um quociente exato. Neste caso, verificamos que o número não é primo.

– um quociente, na divisão inexata, menor ou igual ao divisor. Neste caso, verificamos que o número é primo.

Exemplos:

– Verifique se o número 101 é primo.

Solução: Observe as divisões sucessivas abaixo:

clip_image002            clip_image004

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Executamos as divisões conforme a regra acima veja que a última divisão é inexata e o quociente (9) é menor do que o divisor (11). Assim, podemos afirmar que o número 101 é primo. Vejamos outro exemplo:

– Verifique se o número 403 é primo.

Solução: Veja que 403 não é divisível por 2, também não é por 3 e nem por 5, então começaremos a divisão a partir do 7.

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Perceba que a última divisão é exata, isto quer dizer que 13 é um divisor de 403, logo 403 tem mais de dois divisores e não é primo.

2º Modo: Procuramos um número natural n, cujo seu quadrado seja mais próximo do número a ser verificado. Se nenhum dos primos menores, ou iguais, a n dividir o número a ser verificado, podemos afirmar que ele é primo, caso contrário, não é.

Exemplo: Verifique se o número 181 é primo.

Solução: primeiro observe que o quadrado de 13 é o mais próximo do número 181, isto é, 132 = 169, agora vamos verificar se, pelo menos um, dos números primos menores ou iguais a 13 (2, 3, 5, 7, 11 e 13) divide 181. Verifique você mesmo que nenhum dos números (2, 3, 5, 7, 11 ou 13) divide 181. Assim, podemos afirmar que o número 181 é primo.

Verifique sua aprendizagem!

Quais números abaixo são primos?

a) 127            b) 143              c) 207                      d) 271

Conclusão

Você deve ter observado que a tarefa de verificar se um determinado número natural é primo, não é uma tarefa simples, exige trabalho! Ainda mais se o número tiver um valor “grande” de mais.
– O único número primo e par é o 2.
– A princípio estes são dois métodos básicos, geralmente aplicados e ensinados em cursos, caso você conheça outro método mais rápido, fique a vontade para comentar.
– A aplicabilidade dos números primos é grande, em breve postaremos mais conteúdo onde usaremos o conteúdo desta aula, por exemplo, fatoração, mdc, mmc, etc. Veja nos links abaixo.

Decomposição em fatores primos

Como calcular o máximo divisor comum

Como calcular o mínimo múltiplo comum

Gabarito do exercício: a) primo b) não c) não d) primo

Bibliografia

– DANTE, LUIZ ROBERTO. Matemática. Projeto Teláris. Editora Ática.

– LIMA, EDIVANDO DE e TAVARES, RÔMULO. Matemática para admissão nos Colégios Militares do Brasil. Fortaleza, 2009.

“Não deixes para a tarde o que puderes realizar pela manhã.”  A Vós Confio

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41 Comentários


  1. Ola estou fazendo um algoritmo que calcula o numero primo, trabalho com desenvolvimento e na linguagem que trabalho não gostei dos algoritmos que encontrei.

    Com o algoritmo apresentado pela maioria dos sites consegui rodar uma tarefa em 1 segundo.

    Ai que entra o seu “2 modo” que diz que pra descobrir o numero mais próximo 181 elevando o número que no caso foi 13². Sabendo disso eu apenas diz a raiz quadrada de 181, arredondei o número para inteiro e usei o valor no meu algoritmo.

    Isso vez o algoritmo fazer a mesma tarefa em 4 milissegundos, o que eu quero dizer com isso é como a matemática pode nos ajudar se soubermos usá-la a nosso favor.

    Muito Obrigado.

    Abaixo estão as duas contas em linguagem c#:
    public static bool NumeroPrimo(Int64 numero)
    {
    if (numero == 2) return true;
    if (numero % 2 == 0) return false;

    for (int i = 3; i < numero; i=i+2)
    {
    if (numero % i == 0) return false;
    }

    return true;
    }

    public static bool NumeroPrimoRapido(Int64 numero)
    {
    if (numero == 2) return true;
    if (numero % 2 == 0) return false;

    for (int i = 3; i <= Math.Round(Math.Sqrt(numero)); i = i + 2)
    {
    if (numero % i == 0) return false;
    }
    return true;
    }

    Responder

    1. Estude novamente o artigo, Leo. E atenção a definição de número primo. Abraço!

      Responder

  2. Muito bom o conteúdo do blog, não imaginava q fosse tão difícil identificar um número primo.
    Parabéns pelo blog.

    Responder

    1. Opa João, encontrar números primos dá um pouco de trabalho, normal até o momento. Obrigado por participar, abraço!

      Responder

  3. oi gostei muito da sua esplicacao e preciso receber mais explicações, qual o seu email?

    Responder

    1. Oi Valdirene, obrigado pelo interesse no conteúdo do blog, aproveite. Para você receber nossas dicas via email, basta se cadastrar em algum formulário no blog e ainda receberá grátis um ebook com 40 questões resolvidas. Abraço!

      Responder

  4. Parabéns meu caro, louvável estes que querem ensinar, como você, ainda mais em um campo tão deficiente no país, a matemática.
    Muito boa as suas explicações, continue 😉

    Responder

    1. Opa Felipe, muito obrigado por comentar. Visite o blog sempre que quiser, ok? Sucesso!

      Responder

  5. Me ajudou muito para uma pesquisa de escola relembrei e aprendi muito mais

    Obrigado .

    Responder

  6. Professor, a letra d o gabarito diz que 271 eh um número primo. Porem a raiz quadrada mais próxima que tem desse valor seria 16×16=256-271=15. Porém nenhum número primo menor do que 16 confere resultado com quociente menor do que o divisor e divisão inexata, que seria a regra basica para descobrir se o número é primo ou não. Agradeceria se o Sr. Podesse tirar minha dúvida, pois fiz o cálculo como manda a regra e dw acordo com os outros 3 exercícios, que os resultados conferiram com o gabarito. Boa tarde professor.

    Responder

    1. Oi Jonathan, você entendeu DE FATO a regra descrita no artigo? Sugiro que a estude novamente. Ah, e não confunda os dois modos sugeridos no artigo, ok? Sucesso!

      Responder

  7. Então sera numeros PRIMOS aqueles que tiver apenas dois divisores 1 e ele mesmo, e o quociente menor que o divisor certo ?

    Obrigado!

    Responder

    1. Paulo, leia de novo a explicação para que não haja mais dúvidas, ok? Abraço.

      Responder

  8. Professor,

    Esse assunto ” critérios de divisibilidade” não foi abordado aqui no blog ainda né ?

    Responder

    1. Gabriel,

      este assunto ainda não foi abordado no blog. Mas é algo que se encontra na maioria dos livros de 6º ano.

      Abraço.

      Responder

  9. Professor,

    Usando o 2º método, Como fica resolução da letra d)271

    Muito Obrigado.

    Responder

      1. OI,

        Tentei fazer assim;

        16² = 256. então dividi o 16 por 2 e como deu resto zero verifiquei que não é primo.

        mas no gabarito está dizendo que é primo.

        Queria ver onde errei

        Abraço

        Responder

        1. Gabriel,

          por que você está dividindo 16 por 2? Estude a regra novamente, leia com atenção.
          Abraço.

          Responder

          1. Professor,

            Acho que entendi. O correto seria dividir o nº 271 pelos primos iguais ou menores que 16.

            Responder

            1. Gabriel,

              muito bem. Você entendeu a regra, é isso mesmo! Essa é a melhor maneira de estudar: você mesmo descobre porque não está obtendo o resultado desejado. Muitos estudantes, ficam esperando a resolução, param no meio do caminho, claro que existem outros fatores que influenciam, mas o principal é o ser que estuda, é você e, somente você quem determina aonde quer chegar.
              Abraço.

              Responder

              1. Sou prova viva disso. Pois, perdi muito tempo apenas assistindo aula e vendo resoluções em cursinhos. Mas o essencial que era o estudo solitário deixei de lado. Agora estou percebendo que o melhor professor é a leitura.

                Obrigado !

                Responder

  10. Outra dúvida Professor;

    Na definição do 2º modo “Procuramos um número natural n, cujo seu quadrado seja mais próximo do número a ser verificado”. Se acontecer do numero ser maior, ainda que mais próximo . segue a definição ?

    Mero exemplo; para saber se o numero 24 é primo. minha referencia seria 4² ou 5²

    Obrigado.

    Responder

    1. Gabriel,

      qual deles está mais próximo 5² ou 4² de acordo com a regra será o 5², mesmo que seja maior.
      Abraço.

      Responder

  11. Professor,

    Na dúvida de qual modo aplicar. Qual o senhor considera mais prático ?

    Responder

    1. Gabriel,

      determinar se um número é primo ou não, é bom que se saiba também os critérios de divisibilidade. Mas acredito que sendo um número ‘grande’ pode dar muito trabalho. Procure utilizar o método que você se sente mais confortável, claro, leve em conta o contexto em geral também.
      Abraço.

      Responder

  12. Vim a este endereço, tentando averiguar se e quando é que a divisão entre dois números primos compõe uma dízima infinita não-periódica e, – já não me lembro… – uma dízima infinita não-periódica não é o que caracteriza um número irracional?

    Fico grato, se me puder ajudar.

    Cumprimentos,
    Vasco Bizarro

    Responder

    1. Vasco Bizarro,

      “existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica, esses números são não racionais e representam números irracionais.”

      Exemplos:
      a = 1,010010001…
      \displaystyle \sqrt{2}=1,4142136...
      \displaystyle \pi =3,141592...
      O número (constante) de Euler (e)

      Existem outros recursos para construção de números irracionais, vide Coleção Fundamentos de Matemática Elementar, volume 1.

      Se ainda tiver dúvidas comente.
      Abraço.

      Responder

    1. Raquel,

      legal você relembrar o conteúdo e que bom que a aula ajudou, ficamos satisfeitos.

      Continue acompanhando o blog que há sempre material novo chegando! Obrigado e sucesso.

      Responder

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