Número Primo

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O conteúdo desta aula tem por objetivo num primeiro momento a identificação de números naturais primos, isto é, como verifico se um determinado número natural é primo? Também tem o objetivo de dar embasamento a outras aulas que estão por vir, pois a aplicabilidade de números primos é grande!

Nesta aula, vamos aprender a definição de número primo e como verificar se um número é ou não primo, através de dois métodos, sendo um desses métodos aprendido na escola básica, já o outro não tão divulgado.

Divisor de Um Número Natural

Em primeiro lugar, dizemos que um determinado número natural a é divisor de um natural b, quando a divisão de b por a se faz exatamente, isto é, sem deixar resto (zero).

Exemplo: na divisão de 56 por 14, encontramos resto 0, então dizemos que 14 é um divisor de 54.

Observe alguns números naturais:

– os divisores de 21 são: 1, 3, 7 e 21.

– os divisores de 5 são: 1 e 5.

– os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

– os divisores de 17 são: 1 e 17.

Observe que alguns desses números (5 e 17) têm apenas dois divisores. Quando isso acontece, eles são chamados de números primos.

Número Primo

Um número natural maior do que 1 é dito primo se possui exatamente dois divisores distintos: o 1 e ele mesmo.

Entre os números 21, 5, 12 e 17, podemos afirmar que:

– 5 é primo, pois é maior do que 1 e só tem 1 e 5 como divisores;

– 17 é primo, pois é maior do que 1 e só tem 1 e 17 como divisores;

– 21 e 12 não são números primos, pois têm mais de dois divisores.

Os (dez primeiros) números naturais primos dispostos em ordem crescente são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … .

Como Verificar se Um Número é Primo?

Vamos aprender dois modos de reconhecimento de um número primo.

1º Modo: Dividimos o número pelos primeiros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. …, até encontrarmos:

– um quociente exato. Neste caso, verificamos que o número não é primo.

– um quociente, na divisão inexata, menor ou igual ao divisor. Neste caso, verificamos que o número é primo.

Exemplos:

– Verifique se o número 101 é primo.

Solução: Observe as divisões sucessivas abaixo:

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Executamos as divisões conforme a regra acima veja que a última divisão é inexata e o quociente (9) é menor do que o divisor (11). Assim, podemos afirmar que o número 101 é primo. Vejamos outro exemplo:

– Verifique se o número 403 é primo.

Solução: Veja que 403 não é divisível por 2, também não é por 3 e nem por 5, então começaremos a divisão a partir do 7.

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Perceba que a última divisão é exata, isto quer dizer que 13 é um divisor de 403, logo 403 tem mais de dois divisores e não é primo.

2º Modo: Procuramos um número natural n, cujo seu quadrado seja mais próximo do número a ser verificado. Se nenhum dos primos menores, ou iguais, a n dividir o número a ser verificado, podemos afirmar que ele é primo, caso contrário, não é.

Exemplo: Verifique se o número 181 é primo.

Solução: primeiro observe que o quadrado de 13 é o mais próximo do número 181, isto é, 132 = 169, agora vamos verificar se, pelo menos um, dos números primos menores ou iguais a 13 (2, 3, 5, 7, 11 e 13) divide 181. Verifique você mesmo que nenhum dos números (2, 3, 5, 7, 11 ou 13) divide 181. Assim, podemos afirmar que o número 181 é primo.

Verifique sua aprendizagem!

Quais números abaixo são primos?

a) 127            b) 143              c) 207                      d) 271

Conclusão

Você deve ter observado que a tarefa de verificar se um determinado número natural é primo, não é uma tarefa simples, exige trabalho! Ainda mais se o número tiver um valor “grande” de mais.
- O único número primo e par é o 2.
- A princípio estes são dois métodos básicos, geralmente aplicados e ensinados em cursos, caso você conheça outro método mais rápido, fique a vontade para comentar.
- A aplicabilidade dos números primos é grande, em breve postaremos mais conteúdo onde usaremos o conteúdo desta aula, por exemplo, fatoração, mdc, mmc, etc. Veja nos links abaixo.

Decomposição em fatores primos

Como calcular o máximo divisor comum

Como calcular o mínimo múltiplo comum

Gabarito do exercício: a) primo b) não c) não d) primo

Bibliografia

– DANTE, LUIZ ROBERTO. Matemática. Projeto Teláris. Editora Ática.

– LIMA, EDIVANDO DE e TAVARES, RÔMULO. Matemática para admissão nos Colégios Militares do Brasil. Fortaleza, 2009.

“Não deixes para a tarde o que puderes realizar pela manhã.”  A Vós Confio

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Sobre o Autor

autor-70x70 Thieres Machado é Professor em cursos preparatórios para diversos concursos. Autor do e-book Raciocínio Lógico Quantitativo para concursos com 40 questões resolvidas passo a passo. Continue lendo aqui.


Comentários

  • Paulo Henrique disse:

    Então sera numeros PRIMOS aqueles que tiver apenas dois divisores 1 e ele mesmo, e o quociente menor que o divisor certo ?

    Obrigado!

  • Ocarinha disse:

    Parabéns pelo texto. Meus parabéns

  • ricardo disse:

    me enssine professsor eu preciso

  • Gabriel de Moura disse:

    Professor,

    Esse assunto ” critérios de divisibilidade” não foi abordado aqui no blog ainda né ?

    • Thieres Machado disse:

      Gabriel,

      este assunto ainda não foi abordado no blog. Mas é algo que se encontra na maioria dos livros de 6º ano.

      Abraço.

  • Gabriel de Moura disse:

    Professor,

    Usando o 2º método, Como fica resolução da letra d)271

    Muito Obrigado.

    • Thieres Machado disse:

      Gabriel,

      qual a sua dúvida? Já tentou fazer?

      Abraço.

      • Gabriel de Moura disse:

        OI,

        Tentei fazer assim;

        16² = 256. então dividi o 16 por 2 e como deu resto zero verifiquei que não é primo.

        mas no gabarito está dizendo que é primo.

        Queria ver onde errei

        Abraço

        • Thieres Machado disse:

          Gabriel,

          por que você está dividindo 16 por 2? Estude a regra novamente, leia com atenção.
          Abraço.

          • Gabriel de Moura disse:

            Professor,

            Acho que entendi. O correto seria dividir o nº 271 pelos primos iguais ou menores que 16.

            • Thieres Machado disse:

              Gabriel,

              muito bem. Você entendeu a regra, é isso mesmo! Essa é a melhor maneira de estudar: você mesmo descobre porque não está obtendo o resultado desejado. Muitos estudantes, ficam esperando a resolução, param no meio do caminho, claro que existem outros fatores que influenciam, mas o principal é o ser que estuda, é você e, somente você quem determina aonde quer chegar.
              Abraço.

              • Gabriel de Moura disse:

                Sou prova viva disso. Pois, perdi muito tempo apenas assistindo aula e vendo resoluções em cursinhos. Mas o essencial que era o estudo solitário deixei de lado. Agora estou percebendo que o melhor professor é a leitura.

                Obrigado !

  • Gabriel de Moura disse:

    Outra dúvida Professor;

    Na definição do 2º modo “Procuramos um número natural n, cujo seu quadrado seja mais próximo do número a ser verificado”. Se acontecer do numero ser maior, ainda que mais próximo . segue a definição ?

    Mero exemplo; para saber se o numero 24 é primo. minha referencia seria 4² ou 5²

    Obrigado.

  • Gabriel de Moura disse:

    Professor,

    Na dúvida de qual modo aplicar. Qual o senhor considera mais prático ?

    • Thieres Machado disse:

      Gabriel,

      determinar se um número é primo ou não, é bom que se saiba também os critérios de divisibilidade. Mas acredito que sendo um número ‘grande’ pode dar muito trabalho. Procure utilizar o método que você se sente mais confortável, claro, leve em conta o contexto em geral também.
      Abraço.

  • Vasco Bizarro disse:

    Vim a este endereço, tentando averiguar se e quando é que a divisão entre dois números primos compõe uma dízima infinita não-periódica e, – já não me lembro… – uma dízima infinita não-periódica não é o que caracteriza um número irracional?

    Fico grato, se me puder ajudar.

    Cumprimentos,
    Vasco Bizarro

    • Thieres Machado disse:

      Vasco Bizarro,

      “existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica, esses números são não racionais e representam números irracionais.”

      Exemplos:
      a = 1,010010001…
      \displaystyle \sqrt{2}=1,4142136...
      \displaystyle \pi =3,141592...
      O número (constante) de Euler (e)

      Existem outros recursos para construção de números irracionais, vide Coleção Fundamentos de Matemática Elementar, volume 1.

      Se ainda tiver dúvidas comente.
      Abraço.

  • raquel germano disse:

    oi, adorei ja a muito que nao via a materia deu pra relembrar

    • Thieres Machado disse:

      Raquel,

      legal você relembrar o conteúdo e que bom que a aula ajudou, ficamos satisfeitos.

      Continue acompanhando o blog que há sempre material novo chegando! Obrigado e sucesso.

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