Resolvendo Problemas com Equações do Primeiro Grau (método passo a passo)

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O objetivo deste artigo é ajudar aqueles que têm dificuldade na interpretação de problemas envolvendo equações do primeiro grau, ou seja, exprimir em linguagem matemática os enunciados de problemas.

Obviamente, também vamos mostrar passo a passo uma das aplicações de grande importância das equações que é  resolução de problemas.

Continue lendo para saber mais sobre:

  • Como equacionar problemas
  • Problemas básicos envolvendo equações
  • Resolvendo problemas
  • Dicas para aprender mais e melhor o assunto

Problemas com Equações do Primeiro Grau – Método Passo a Passo

Uma das aplicações de grande importância das equações e algo que aparece bastante em concursos, é a resolução de problemas.

Através das equações, podemos exprimir em linguagem matemática os enunciados de muitos problemas.

Desse modo, problemas que antes pareciam complexos demais se tornam mais simples de resolver.

Um pequeno passo a passo para você equacionar e resolver problemas é o seguinte:

1º. Procure identificar a incógnita do problema e representá-la por uma letra.

2º. Equacionar o problema. Retirar todas as informações e armar a equação do problema.

3º. Resolver a equação.

Nesse passo, chamamos a atenção para o fato de que se você tem dificuldade em resolver equações (cálculo de equações), estude antes o seguinte artigo:

Resolvendo Equações do Primeiro Grau

4º. Depois de resolver a equação, volte e verifique se a solução encontrada satisfaz as condições (enunciado) do problema.

Os passos acima estão descritos nas resoluções de cada um dos problemas abaixo.

Os problemas foram colocados em ordem crescente de dificuldade, ou seja, o primeiro é mais simples e o último mais bem elaborado. Mas, isso depende muito do seu nível de conhecimento.

Alguns estudantes, mais avançados, podem achar que os problemas não apresentam tanta dificuldade, para outros pode acontecer o contrário.

Desse modo, os problemas foram selecionados pensando em estudantes de nível básico que apresentam certa dificuldade com relação ao assunto.

Mais uma dica: procure estudar a resolução somente após tentar encontrar a solução por si só. Isso vai ajudar numa melhor aprendizagem.

Veja logo abaixo os enunciados dos problemas com equações do primeiro grau.

“Se você encontrar um caminho sem obstáculos, ele provavelmente não leva a lugar nenhum.” ~ Frank A. Clark

Enunciados dos Problemas

1. O dobro da quantia que Marcos possui e mais R$ 15,00 dá para comprar exatamente um objeto que custa R$ 60,00. Quanto Marcos possui?

A) R$ 20,00
B) R$ 20,50
C) R$ 22,00
D) R$ 22,50

2. Um número somado com sua metade é igual a 45. Qual é esse número?

A) 15
B) 30
C) 45
D) 90

3.(CESGRANRIO) José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais. Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar. Quantos quilômetros ele percorreu após o café?

A) 87,5
B) 125,6
C) 262,5
D) 267,5
E) 272,0

4.(CESPE/UnB-Adaptada) Um motorista, após ter enchido o tanque de seu veículo, gastou 1/5 da capacidade do tanque para chegar à cidade A; gastou mais 28 L para ir da cidade A até a cidade B; sobrou, no tanque, uma quantidade de combustível que corresponde a 1/3 de sua capacidade. Quando o veículo chegou à cidade B, havia, no tanque menos de:

A) 10 L
B) 15 L
C) 18 L
D) 20 L
E) 21 L

resp.: E

5.(OMSP-Adaptada) Eduardo tem R$ 1.325,00 e Alberto, R$ 932,00. Eduardo economiza R$ 32,90 por mês e Alberto, R$ 111,50. Depois de quanto tempo terão quantias iguais?

A) 3 meses
B) 5 meses
C) 7 meses
D) 9 meses

Soluções dos Problemas

Problema 1.

Vamos começar por representar a incógnita do problema por uma letra (você escolhe!). A incógnita do problema é a quantia que Marcos possui (o que o problema quer saber).

Incógnita: quantia que Marcos possui: q

Repare que estamos lidando com uma quantia de dinheiro, então “q” só poderá assumir valores, neste caso, inteiro ou decimal mas não negativo, ok?

Dobro da quantia que Marcos possui: 2.q ou 2q.

Veja que Marcos possui uma quantia q, então o dobro de q é 2q.

Equação: 2q + 15 = 60.

O problema diz: o dobro da quantia que Marcos possui (2q) mais quinze reais (+15) dá para comprar exatamente um objeto que custa sessenta reais (= 60), isto é, se “dá para comprar exatamente” (exatamente!) quer dizer então que é igual (=).

Resolução:

2q + 15 = 60 <=> 2q = 60 – 15 <=> 2q = 45 <=> q = 45/2 <=> q = 22,50 reais.

Verificando se a solução (valor de q) satisfaz as condições do problema:

22,50 é decimal, positivo (ok!). O dobro de 22,50 é 45,00 e 45,00 mais 15 é exatamente igual a 60. :-)

Portanto, Marcos possui R$ 22,50.

Problema 2.

Este problema é bem simples (não quer dizer fácil). Atente para a fração que aparecerá na resolução.

Incógnita: um número: n.

Pode ser qualquer número, aqui chamamos de n.

Sua metade: n/2 (n dividido por 2).

Para encontrarmos a metade de um número, basta dividirmos por 2.

Equação: um número (n) somado (+) com sua metade (n/2) é igual (=) a 45.

n + n/2 = 45.

Resolução:

n + n/2 = 45 <=>

Calculando o mmc para igualar os denominadores (ou não necessariamente) e fazendo as devidas multiplicações.

<=> 2n + n = 90 <=> 3n = 90 <=> n = 90/3 <=> n = 30.

Verifique você mesmo se a solução satisfaz as condições do problema!

Logo, o número procurado é 30.

Problema 3.

Este é um tipo de problema que devemos pensar “de trás para frente” para determinarmos sua incógnita.

Observe o seguinte trecho do enunciado:

“percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar…”

Vamos supor que José, antes de parar, tenha percorrido uma distância d. Então, o triplo de d é 3d, ok?

Desse modo, acabamos de representar a incógnita do problema por d.

Incógnita: quantidade percorrida antes de parar: d.

Triplo da quantidade percorrida: 3d.

Equação:

De acordo com o problema, José percorre um quantidade d antes de parar e depois percorre o triplo dessa quantidade, isto é, 3d. Então, o total percorrido por José é de (d + 3d).

Mas, o problema diz ainda que o total percorrido (quantidade) até a casa dos pais é de 350 km.

Portanto, concluímos que as quantidades devem ser iguais.

d + 3d = 350.

Resolução:

d + 3d = 350 <=> 4d = 350 <=> d = 350/4 <=> d = 87,5 km (atenção, essa não é a resposta final, viu?).

Após o café, José percorreu o triplo de d, ou seja,

3 x 87,5 = 262,5 km.

Essa solução satisfaz as condições do problema. Não é um número negativo. Somando o que José percorreu antes do café com o percorrido depois, temos 350 km. (verifique!)

Problema 4.

A resolução deste problema é semelhante ao problema 2, porém, com muito mais informação. Vejamos!

Para responder a pergunta do problema, devemos antes saber a capacidade do tanque, concorda?

Incógnita: capacidade do tanque: c.

1/5 da capacidade do tanque para chegar à cidade A: 1/5 de c = c/5.

1/3 de sua capacidade: 1/3 de c = c/3.

Equação:

Para montarmos a equação devemos ter em mente que a capacidade do tanque menos o que foi consumido para chegar até a cidade B é igual ao que sobrou no tanque, isto é,

(capacidade do tanque) – (o que foi consumido) = (sobrou no tanque).

c – (c/5 + 28) = c/3

O consumo para chegar a cidade B foi de (c/5 + 28), ou seja, até A, c/5 e de A até B, 28 litros.

Resolução:

c – (c/5 + 28) = c/3 <=>  (retirando dos parênteses, multiplicando sinais)

<=> c – c/5 – 28 = c/3 <=> (igualando os denominadores com o cálculo do mmc e já simplificando)

<=> 15c – 3c – 420 = 5c <=>

<=> 15c – 5c – 3c = 420 <=>

<=> 7c = 420 <=>

<=> c = 60 L.

Agora já sabemos a capacidade do tanque que é de 60 litros.

De acordo com o problema, sobrou no tanque um terço da capacidade (c/3), então 60/3 = 20 L. Sobrou no tanque 20 L e 20 é menor do que 21. :-)

Logo, quando o veículo chegou à cidade B, havia, no tanque menos de 21 L.

Observações:

1. Na resolução de problemas desse tipo temos duas situações, uma é equacionar o problema e a outra é resolver a equação. Caso você tenha dificuldade em resolver equações do primeiro grau, este não é o foco aqui, sugiro estudar esta parte antes, que é mais técnica (cálculo).

2. Repare que a pergunta do problema é focada em “menos de” e não em “qual a quantidade” ou “exatamente”. Encontramos para a capacidade do tanque, 20 L e tem esse valor nas alternativas, mas não é esse o foco do pergunta (verifique!).

Problema 5.

Este problema é um pouco mais bem elaborado que os demais, então vamos por partes para resolvê-lo. :-)

Vamos definir nossa incógnita. Você deve ter percebido que se trata do tempo, ok?

Incógnita: tempo (em meses) em que terão quantias iguais: t.

Como Eduardo e Alberto possuem quantias e economizam valores diferentes, vamos fazer em separado, por enquanto.

Eduardo: tem R$ 1.325,00 e economiza R$ 32,90 por mês.

Como calcular o valor total que Eduardo terá ao longo dos meses?

Vamos pensar um pouco antes, pois o mesmo valerá para Alberto.

Total em 1 mês: 1325 + 32,90 = R$ 1357,90.

Total em 2 meses: 1325 + (32,90 x 2) = 1325 + 65,80 = R$ 1390,80.

Total em 3 meses: 1325 + (32,90 x 3) = 1325 + 98,70 = R$ 1423,70.

Bem, acredito que você já deve ter percebido que o total ao final de cada mês, será obtido pela soma do valor que Eduardo tem com o valor total economizado que é dado por, produto de 32,90 pela quantidade de meses.

Mas como chamamos o tempo de t, vamos substituir a quantidade de meses por t. Fazendo isso, temos uma expressão que nos dá o valor total que Eduardo terá em t meses (uma quantidade qualquer de meses).

Total em t meses: 1325 + (32,90 x t) = 1325 + 32,90t.

Equação da quantia para Eduardo: 1325 + 32,90t.

O mesmo raciocínio vale para Alberto, pois o tempo deve ser o mesmo.

Equação da quantia para Alberto: 932 + 111,50t.

Pode acreditar, a parte mais difícil do problema já foi resolvida. :-)

A pergunta é: depois de quanto tempo ( t meses) terão quantias iguais ( = ).

Equação e resolução:

Quantia de Eduardo = Quantia de Alberto.

1325 + 32,90t = 932 + 111,50t <=>

<=> 1325 – 932 = 111,50t – 32,90 <=>

<=> 393 = 78,60t <=>

<=> 393/78,60 = t <=>

<=>  t = 5 meses.

Logo, Alberto e Eduardo terão quantias iguais depois de 5 meses.

Considerações Finais

Na resolução de problemas envolvendo qualquer tipo de equação, há dois pontos a considerar.

O primeiro, é equacionar o problema. Você precisa retirar as informações do enunciado e exprimir na linguagem da Matemática.

Nesse ponto muitos estudantes apresentam grande dificuldade, talvez pela falta de interpretação e pode acreditar, não é culpa do professor de Português.

A solução é praticar, praticar e praticar. Começando com problemas mais simples (o basicão mesmo!) e avançando para os mais complexos.

Com persistência esse caminho ficará registrado em sua memória e com o passar do tempo vai perceber que melhorou muito.

O segundo ponto, é a resolução da equação. Saber resolver uma equação do primeiro grau é parte importante e necessária. Não há como fugir.

Portanto, aprenda a resolver uma equação muito antes de procurar equacionar o problema. Faça isso e o caminho para uma melhor aprendizagem será mais fácil.

Acreditamos que se você seguir o passo a passo acima, vai obter uma aprendizagem mais eficiente e eficaz.

Caso ainda tenha alguma dúvida ou quiser deixar sua opinião, tenha certeza que vai ajudar muito na qualidade dos artigos do blog, então fique a vontade para comentar.

Um Grande Abraço. :-)

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Sobre o Autor

autor-70x70 Thieres Machado é Professor em cursos preparatórios para diversos concursos. Autor do e-book Raciocínio Lógico Quantitativo para concursos com 40 questões resolvidas passo a passo. Continue lendo aqui.


Comentários

  • lu disse:

    Muito obrigado me ajudou muito.Estou estudando sozinha e agora tirei todas as minhas duvidas.

  • Joice disse:

    Otima explicação, me ajudou muito! Obrigada!

  • Gabrielle disse:

    Muitissimo obrigada! Minha dificuldade mesmo é a interpretação, mas irei treinar bastante! Ajudou muito

    • Thieres Machado disse:

      Nós é que agradecemos por sua visita e comentário, Gabrielle. Realmente, se você entender exatamente o que o problema pede, então 50% do mesmo já está resolvido. Interpretação é fundamental, com a prática constante e tempo você ficará fera. Sucesso.

  • Giovani disse:

    Obrigado, o artigo foi de grande ajuda aos meus estudos.

  • maria vic disse:

    Professor eu queria pedir a sua ajuda para como resolver problemas de equação com 2 incógnitas,eu sei fazer a equação mais eu só não sei montar ela.

    • Thieres Machado disse:

      Maria, resolver equações com 2 incógnitas requer um pouco mais de Matemática do que a estudada no fundamental. Por exemplo, em alguns casos, uma única equação com 2 incógnitas pode apresentar várias soluções. Ou você está se referindo a sistemas de equações?

  • valdir almeida disse:

    Bom dia,venho por meio desse email aguadecer pela força e perguntar quala melhor forma de resolver essas equaçoes envolvendo equacão de primeiro e segundo grau..
    muito obrigado

    • Thieres Machado disse:

      Valdir, para resolver equações é necessário antes ter embasamento sobre o assunto. Procurar aprender um método e depois praticar. Com isso conseguirá desenvolver seu próprio método. Isto é, a melhor forma de resolver é a que melhor lhe deixa confortável. Abraço.

  • leda disse:

    Nossa,amei,muito obrigada pela explicação,me ajudou muito.Além de tudo está de uma forma muito clara… Valeu!!

  • janaina rianny disse:

    Nao entendi o exemplo 4

  • Natalie disse:

    Os problemas 4 e 2 tavam super complicados pra mim mas depois de tanto ler suas soluções entendi muito bem parabéns prof pelo site ta me ajudando muito eu acho que é a primeira vez que eu comento pra agradecer e ñ pra pergunta kkkkk mas é assim mesmo qualquer coisa volto a te pertubar vwl.

    • Thieres Machado disse:

      Natalie,
      que bom que entendeu. Para entender algumas aulas precisamos ter embasamento de outros assuntos. Aprender é assim mesmo, tem assunto que entendemos melhor outros com mais dificuldade. Mas só aprende de verdade e faz a diferença aquele que persiste. Acredito em você, continue em frente que logo vai conquistar seu objetivo. Comente sempre que quiser, ok? Sucesso.

  • Natalie disse:

    na questao 2. como que chegou aqui??? eu ñ entendi tirei o mmc de 2 e 45 edeu 90 mas ñ entendi como chegou nessa armação aqui prof da pra explica vlw
    2n + n = 90 3n = 90 n = 90/3 n = 30

    • Thieres Machado disse:

      Natalie,

      n + n/2 = 45 pode ser colocada na forma: n/1 + n/2 = 45/1 daí pra reduzir todas as frações ao mesmo denominador, calcule o mmc(1,2,1) = 2.
      Veja os artigos indicados na resolução, como reduzir frações ao mesmo denominador. Abraço.

    • Valdirene disse:

      Tbm gostei mto do conteúdo muito bom mesmo tive a mesma dúvida que a Natalie mas estou aproveitando bastante e mim preparando para um concurso público na fé q irei passar.Obrigada

  • Thiago disse:

    Parabéns pelo artigo. Muitos bons os exercícios e as explicações.

    Obrigado!

  • Grassy Kelly disse:

    Muito obrigada Thieres, realmente vc explica muito bem.
    qualquer duvida volto a te “incomodar” rsrsrsr 😉

    • Thieres Machado disse:

      Grassy,
      eu é que agradeço a sua visita e seu tempo. Obrigado pelo elogio e fique a vontade para comentar sua dúvida. Tudo de bom!

  • Thiago Peixoto disse:

    Olá Thieres!

    Muito obrigado por compartilhar de forma tão clara seus conhecimentos. Estou com dúvida em um trecho do 2º exercício, não entendi esse processo:

    n + n/2 = 45

    Calculando o mmc para igualar os denominadores (ou não necessariamente) e fazendo as devidas multiplicações.

    2n + n = 90

    Por que que n/2 virou 2n e 45 virou 90?

    • Thieres Machado disse:

      Thiago,
      percebo que você está com uma dúvida básica. O processo que foi feito se chama reduzir frações ao mesmo denominador (clique para aprender). É claro que temos letras, aí entra também a parte da álgebra.

      Aprenda primeiro reduzir frações ao mesmo denominador. Dê uma estudada no artigo acima indicado e se mesmo assim sua dúvida persistir comente novamente. Abraço.

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