Questões Resolvidas do Concurso EsPCEx

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Para se tornar um Oficial do Exército Brasileiro, uma das formas de ingresso é feita através da Escola Preparatória de Cadetes do Exército, EsPCEx. É a forma mais tradicional de se tornar Oficial. Atualmente o concurso é feito em várias etapas e uma delas é a prova escrita, onde é necessário além do mais conhecimentos de Matemática de nível fundamental e médio.

Iniciamos no blog uma série de artigos com questões resolvidas dos últimos concursos no intuíto de ajudar a todos que almejam uma vaga no Exército.

Veja abaixo onde apresentamos um pouco sobre a escola, as questões e sua resoluções. Lembre-se também de ler a conclusão, pois fornecemos dicas para uma melhor aprendizagem.

Sobre a EsPCEx

A EsPCEx tem por missão selecionar e preparar o fututo cadete da Academia Militar das Agulhas Negras (AMAN), dando início a formação do futuro oficial do Exército Brasileiro. A escola está localizada na cidade de Campinas, SP.

A seleção é feita anualmente. Algumas das principais condições para inscrição:

ser brasileiro nato, do sexo masculino; possuir idade de no mínimo 17 e, no máximo 22 anos, completados até 31 de dezembro do ano da matrícula; ter concluído ou estar cursando a 3ª série do ensino médio, no ano da inscrição.

Verifique mais informações junto ao site da EsPCEx.

Sobre as Questões Resolvidas

Os assuntos abordados nas questões abaixo são, geralmente, aprendidos no ensino médio. Claro, é necessário dominar também o conteúdo do ensino fundamental. A primeira questão aborda temas da geometria analítica, equação da circunferência, retas e distâncias.

Na segunda questão, é necessário saber geometria espacial do cone, em particular e um pouco sobre semelhança de triângulos. A terceira questão é sobre probabilidade, mas antes terá que aplicar o princípio fundamental da contagem, isto é, a base da análise combinatória.

Na quarta, você precisará estudar sobre números complexos e saber algumas das diversas formas de se calcular a área de um triângulo. A última questão aborda o tema logaritmos e suas propriedades, bem como mudança de base.

Sugerimos que caso ainda não domine muito bem estes assuntos, procure aprendê-los de forma eficaz antes. Veja logo abaixo as questões.

Enunciados das Questões

1. Considere a circunferência (l) x2 + y2 – 4x = 0 e o ponto P(1,\sqrt 3 ). Se a reta t é tangente a l no ponto P, então a abscissa do ponto de interseção de t com o eixo horizontal do sistema de coordenadas cartesianas é

A) –2

B) 2 + \sqrt 3

C) 3

D) 3 + \sqrt 3

E) 3 + 3\sqrt 3

2. Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será

imageA){\rm{ }}\frac{{\sqrt[3]{7}}}{2}h           B){\rm{ }}\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}h

C){\rm{ }}\frac{{\sqrt[3]{{12}}}}{2}h        D){\rm{ }}\frac{{\sqrt[3]{{23}}}}{2}h

E){\rm{ }}\frac{{\sqrt[3]{{23}}}}{3}h

3. A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é

A) 1/5

B) 2/5

C) 3/4

D) 1/4

E) 1/2

4. A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação

x3 – 8 = 0 tem área igual a

A) 7\sqrt 3

B) 6\sqrt 3

C) 5\sqrt 3

D) 4\sqrt 3

E) 3\sqrt 3

5. Se [ (6 – loga m) / (1 + log m) ] = 2 com a > 0, a ¹ 0, então o valor de

\frac{{\sqrt m }}{{a + \sqrt m }}    é

 

A)  4

B) 1/4

C) 1

D) 2

E) 1/2

Soluções das Questões

Questão 1

Este problema aborda conceitos de geometria analítica na sua resolução. Apresentaremos dois modos para chegar a resposta, pois nossa intenção aqui não é somente resolver o problema, mas também e principalmente ensinar. Vejamos!

1º Modo:

Vamos inicialmente determinar o centro e o raio da circunferência, para isso usaremos o processo de completar os quadrados, veja abaixo.

(l) x2 + y2 – 4x = 0 ® x2 – 2.x.2 + 22 – 22 + y2 =  x2 – 4x + 4 – 4 + y2 = 0 ®

® (x – 2)2 + y2 – 4 = 0 ® (x – 2)2 + y2 = 4. Logo, a equação reduzida de l é

(l) (x – 2)2 + y2 = 4.

Centro (2,0) e (raio)2 = 4, então raio = 2. Com este dados, já podemos fazer um esboço da situação.

image

Neste esboço, temos que t é a reta tangente a circunferência no ponto P e x é a abcissa procurada. Não se preocupe com a reta s, ela não será usada para este 1º modo.

Como P pertence a t, vamos determinar a equação de t utilizando a equação

y – y0 = m( x – x0), onde x0 e y0 são as coordenadas do ponto pertencente a reta, no caso, P(1,\sqrt 3 ) e m o coeficiente angular de  t. Substituindo os valores:

(t) y – \sqrt 3 = m( x – 1) Û (t) mx – y – m + \sqrt 3 = 0 .

Mas, observe que ainda precisamos saber o valor de m, certo? Então vamos lá! Como a distância do centro até o ponto P pertencente a t é 2 (veja que é a medida do raio), vamos uitlizar a fórmula da distância entre ponto e reta.

{d_{c,t}} = \frac{{|a{x_c} + b{y_c} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}

Na fórmula acima, temos que dc,t é distância entre o centro e a reta, a = m, b = –1 e c = – m + \sqrt 3   são os coeficientes da reta t e xc, yc são as cordenadas do centro (2,0).

\frac{{|m.2 - 1.0 - m + \sqrt 3 |}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2 \Leftrightarrow |m + \sqrt 3 | = 2\sqrt {{m^2} + 1}  \Leftrightarrow

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

 \Leftrightarrow {m^2} + 2\sqrt 3 m + 3 = 4{m^2} + 4 \Leftrightarrow 3{m^2} - 2\sqrt 3 m + 1 = 0.

Resolvendo a equação do 2º grau.

\Delta  = {( - 2\sqrt 3 )^2} - 4.3.1 = 12 - 12 = 0.m =  - 2\sqrt 3 .

m = \frac{{2\sqrt 3 }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot

Agora que já sabemos o valor de m, vamos substituir na equação de t.

(t)\frac{{\sqrt 3 }}{3}x - y - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3  = 0 \to (t)\frac{{\sqrt 3 }}{3}x - y - \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = 0.

Bem, o problema pede a abcissa (x) do ponto de interseção de t com o eixo horizontal, então a ordenada deste ponto de interseção é 0 (zero), isto é, (x,0). Substituindo y = 0 na equação de t:

\frac{{\sqrt 3 }}{3}x - 0 - \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{3}x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x =  - 2.

Concluímos portanto, o 1º modo (ufa!). Vejamos o segundo! Tenha fé! :-)

2º Modo:

Acreditamos que a resolução deste segundo modo, exige menos “cálculos”, porém leia com bastante atenção a linha de raciocínio, caso fique com dúvidas, comente. Vamos lá!

Sabemos da geometria plana (axiomas) que por dois pontos passa uma única reta, então pelo centro da circunferência e pelo ponto P passa uma reta, que no caso, chamamos de s, veja o esboço acima.

Agora, como t é tangente a circunferência no ponto P, também da geometria plana, temos que s é perpendicular a t em P (guarde está informação!).

Desse modo, podemos encontrar a equação geral de s e já sabendo que as duas retas são perpendiculares, determinaremos o coeficiente angular de t através da retas s, pois se duas retas são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser igual a –1.

Encontrando a equação geral de s utilizando a condição de alinhamento de três pontos, isto é,

\left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br />
2&0&1\\<br /><br />
1&{\sqrt 3 }&1\\<br /><br />
x&y&1<br /><br />
\end{array}} \right| = 0

“Resolvendo” o determinante:

(s)\left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br />
2&0&1\\<br /><br />
1&{\sqrt 3 }&1\\<br /><br />
x&y&1<br /><br />
\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow (s) - \sqrt 3 x - y + 2\sqrt 3  = 0.

O coeficiente angular de s é ms =  - \sqrt 3 .

Como as retas são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser igual a –1.

{m_s}.{m_t} =  - 1 \to {m_t} = \frac{{ - 1}}{{ - \sqrt 3 }} \Leftrightarrow {m_t} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot

Substituindo mt na equação y – y0 = mt( x – x0) já usada no 1º modo.

(t)y - \sqrt 3  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}(x - 1)

Agora, basta fazer y = 0, pois a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo horizontal é 0 (zero) e encontraremos, novamente o valor de x. Veja:

0 - \sqrt 3  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}(x - 1) \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt 3 }} =  - \sqrt 3  + \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x =  - 2.

Esperamos que tenha percebido os conceitos envolvidos nos dois modos apresentados, caso encontre uma outra maneira de resolver mais simples, fique a vontade para comentar!

Questão 2

Sabemos que o volume de óleo (Vo) será igual ao volume total (Vt) menos o volume de água (Va), concorda? Ok!

Sabendo que o raio do cone é R e a altura h, temos o volume total:

{V_t} = \frac{{\pi {R^2}h}}{3}

A altura da água está na metade da altura h, então o raio do “cone de água” será R/2. Logo, o volume de água será

{V_a} = \frac{{\pi  \cdot {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2} \cdot \frac{h}{2}}}{3} = \frac{{\pi {R^2}h}}{{24}}

Assim podemos calcular o volume de óleo!

Vo = Vt – Va

{V_o} = \frac{{\pi {R^2}h}}{3} - \frac{{\pi {R^2}h}}{{24}} = \frac{{7\pi {R^2}h}}{{24}}

Determinamos o volume do óleo, mas queremos saber a altura do “cone de óleo” formado após a água escoar. Isto é, após a água escoar, o óleo assumirá a forma de um cone com uma nova altura (hn) e um novo raio (Rn), então temos que descobrir hn.

Observe a figura abaixo:

image

Ela representa um corte vertical feito no cone passando pelo seu eixo, chamamos de secção meridiana. Veja que quando a água sai, o óleo assume a forma de um cone.

Temos dois triângulos ABC e ADE (óleo), observando que DE é paralelo BC, da geometria plana temos que os triângulos são semelhantes e daí podemos escrever

\frac{{{R_n}}}{R} = \frac{{{h_n}}}{h} \Leftrightarrow {R_n} = \frac{{R{h_n}}}{h} \cdot

O que foi feito? Bem, usamos semelhança de triângulos (lados proporcionais) para encontrar um relação entre as medidas do raio e altura do cone com as medidas do “cone de óleo”. Além do mais escrevemos o raio do “cone de óleo” em função das outras medidas.

Você pode verificar que o volume do “cone de óleo” não mudou certo? Logo, podemos escrever este volume em função de Rn e hn.

\frac{{\pi R_n^2{h_n}}}{3} = {V_0}

Fazendo as devidas substituições.

\frac{{\pi {{\left( {\frac{{R{h_n}}}{h}} \right)}^2}{h_n}}}{3} = \frac{{7\pi {R^2}h}}{{24}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{\pi {R^2}h_n^3}}{{{h^2}}}}}{3} = \frac{{7\pi {R^2}h}}{{24}} \Leftrightarrow \frac{{\pi {R^2}h_n^3}}{{3{h^2}}} = \frac{{7\pi {R^2}h}}{{24}} \Leftrightarrow h_n^3 = \frac{7}{8}{h^3}

 \Leftrightarrow {h_n} = \frac{{\sqrt[3]{7}}}{2}h.

Questão 3

Para obtermos a probabilidade pedida, devemos antes saber a quantidade total de números formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5.

Como são 5 algarismos, a quantidade de números formada por eles será dada pela permutação dos 5 algarismos.

P5 = 5! = 120 números.

Agora, precisamos verificar a quantidade de números para o evento desejado, isto é, quantos números pares poderemos formar. Sabemos que um número para ser par, nas condições acima, deverá terminar em 2 ou 4.

A quantidade de números terminados em 2, isto é, o quinto algarismo deverá necessariamente ser 2, será:

o primeiro algarismo pode ser qualquer um dos outros 4. Já o segundo, qualquer um dos 3 que sobraram, o terceiro, qualquer um dos dois e para o quarto só resta um opção, sendo o quinto o número 2. Pelo princípio multiplicativo, temos:

4 x 3 x 2 x 1 = 24 números pares terminados em 2.

Veja que também temos a mesma quantidade de números pares terminados em 4, o processo é o mesmo, com o 4 no último algarismo.

Portanto, temos um total 24 + 24 = 48 números pares.

Probabilidade = 48/120 = 2/5.

Questão 4

O afixo é o ponto correspondente ao número complexo, sua imagem geométrica. Veja, a cada número complexo z = a + bi corresponde um único ponto P(a,b) do plano Argand-gauss. P é chamado de afixo ou imagem geométrica de z.

Precisamos então descobrir as raízes complexas da equação dada. Mas antes, vamos relembrar sobre fatoração, isto é, a3 – b3 pode ser escrito como

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2). Daí, vem que

x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2).(x2 + 2x + 4) = 0, então

x – 2 = 0 ou x2 + 2x + 4 = 0.

x – 2 = 0, então x = 2.

x2 + 2x + 4 = 0, resolvendo esta equação no conjunto dos complexos, encontramos para raízes

x =  - 1 + i\sqrt 3 {\rm{ ou x  =   - 1 - i}}\sqrt 3 .

Temos então 3 números complexos: x1 = 2, x2 = –1 + i\sqrt 3 e x3 = –1 – i\sqrt 3 . Seus afixos, respectivamente, são (2,0), (-1,\sqrt 3 ) e (-1, –\sqrt 3 ). Representando no plano:

image

Repare que temos um triângulo e as coordenadas de seus vértices, da geometria analítica, temos como obter a área deste triângulo (utilizando determinante). Veja:

{A_\Delta } = \frac{{\left| {\left| {\begin{array}{ccccccccccccccc}<br /><br />
2&0&1\\<br /><br />
{ - 1}&{\sqrt 3 }&1\\<br /><br />
{ - 1}&{ - \sqrt 3 }&1<br /><br />
\end{array}} \right|} \right|}}{2} = \frac{{\left| {6\sqrt 3 } \right|}}{2} = 3\sqrt 3 .

Observação: há outra forma de se obter as raízes fazendo uso do módulo e argumento de um número complexo, bem como a área do triângulo obtido. Verifique!

Questão 5

Para a resolução deste problema, faremos uso das propriedades de logaritmos e mudança de base, verifique antes, caso não saiba.

\frac{{6 - {{\log }_a}m}}{{1 + {{\log }_{{a^2}}}m}} = 2 \Leftrightarrow 6 - {\log _a}m = 2 + 2.{\log _{{a^2}}}m \Leftrightarrow 2{\log _{{a^2}}}m + {\log _a}m = 6 - 2 \Leftrightarrow

Fazendo uma mudança de base no primeiro log, isto é, vamos mudar para base a, pois é a que nos interessa.

 \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}{a^2}}} + {\log _a}m = 4 \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{{{{\log }_a}m}}{2} + {\log _a}m = 4 \Leftrightarrow {\log _a}m + {\log _a}m = 4 \Leftrightarrow

 

 \Leftrightarrow 2{\log _a}m = 4 \Leftrightarrow {\log _a}m = \frac{4}{2} \Leftrightarrow {\log _a}m = 2 \Leftrightarrow {a^2} = m \Leftrightarrow a = \sqrt m .

Agora, vamos substituir o valor de a.

\frac{{\sqrt m }}{{a + \sqrt m }} = \frac{a}{{a + a}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \cdot

Conclusão

Com estas questões e suas resoluções acreditamos estar contribuíndo para sua aprendizagem. Na questão 1, mostramos dois modos de resolução, fica a seu critério aplicá-los, mas lembre-se que o fator tempo de prova é importante no momento da realização.

Para “encarar” um prova como esta é necessário ter um bom embasamento dos assuntos, não adianta querer aprender tudo na véspera da prova, é necessário dedicação com antecedência!

Reparou que uma única questão pode abordar mais de um tema dentro da Matemática? Então, deve-se ter em mente dominar todo o programa de Matemática.

Bem, estas foram algumas dicas. Continue acompanhando o blog que em breve publicaremos a segunda parte desta série.

Faça nos um favor? Comenta aí o que você achou de nossas resoluções de modo geral. Pode ter certeza que isso vai nos ajudar muito para tornar o blog mais eficiente.

Muito obrigado pela visita e até breve! :-)

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Sobre o Autor

autor-70x70 Thieres Machado é Professor em cursos preparatórios para diversos concursos. Autor do e-book Raciocínio Lógico Quantitativo para concursos com 40 questões resolvidas passo a passo. Continue lendo aqui.


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